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十二平均律的理性推导

更新时间:2019-12-21    来源/发布:乐器学习网    作者/编辑:okdadab

首先说一个问题,本人在详细思考了律制之后,从数学逻辑上推导十二平均律。现将其过程分享给大家,希望对大家有所帮助。

一、共振与频率首先我们先解释一个问题,为什么有的时候你会感觉到两个同时发出的声音更和谐。肯定有人会说,因为共振呗!其实里面的物理原理没这么简单。先说一个最简单的例子,可能很多人都听过:当年称霸整个欧洲的拿破仑率领他的军队通过一座小桥。军队喊着“121”的号子齐步走上小桥。突然,桥塌了,n多士兵掉到了河里。不信你看现在军训之后,一旦通过什么天桥之类的地方,教官肯定让大家便步走。这就是因为拿破仑的前车之鉴。这里的问题在于齐步走的频率和桥的固有频率发生了共振。其实,物体本身是有一个固定的频率的,它按照这个固定的频率一直在震动,不过通常情况下,人是不会觉察出来的。那么我们看看如果外加一个震动会出现什么情况。



 



 

这个图就非常明白地告诉了我们会发生什么现象。 红色的是y=sin(x),蓝色的是y=sin(2x),假设两者的振幅是一样的。虽然两者的频率差了1倍,但是共同作用的结果是震动的幅度几乎翻了一翻。学过三角函数的朋友们应该知道这个道理,两者的频率如果是倍频关系,就是一个频率是另一个的整数倍数,叠加的结果就会使震动幅度增加的越多。如果不是整数倍,那么效果就会差很多。我们假设红色的是桥的震动,而蓝色的是人的震动。有一个人在桥上走的情况,就是上面的图。如果桥上同时走两个人会怎么样呢?(注意!我下面指的是齐步走)

此主题相关图片如下:
 




 


 

黑线是只有一个人的情况,蓝线是两个人,红线是十个人。这个情况可非常恐怖了。振幅随着人数的增加迅速增长。大家注意,桥的固有频率的振幅其实不是很高,就算桥的频率没有和人行进的频率产生倍频的关系,但毕竟人多力量大,叠加的结果其实也差不多,不信大家自己吧y=sin(x)随便改成一个三角函数,做出来的图跟上面的那个没什么区别。士兵们在行进的过程中传达给桥的能量是和振幅正相关的。那么桥上的人越多给出的能量就越大,一旦这个能量超出了桥的承受范围,哼哼!那就有好戏看了。 这里同时也说明了一个问题,音乐中的共振关系,倍频的时候总是让人感到更和谐,更亢奋,就是因为振幅的叠加造成的。二、十二平均律的设计关于十二平均律,我们还是不要管是哪位前辈发现或者发明的了。首先一个问题,既然国际的标准是A=440Hz,那么我们不妨用A做例子说说这个问题。从一个A到下一个听着非常爽非常和谐的位置一定是A的倍频,而A的倍频里面最和谐的一定是A的2倍频和2半频——880Hz和220Hz。在十二平均律里面把这个定为一个八度。八度的概念一会再说。为什么要设计十二平均律呢,其实就是为了转调方便。大家知道自然音阶是由7个音组成的,我们暂且使用它们的音名CDEFGAB。然而要想自由转调可不是很容易,因为这7个音之间的间隔是不一样的。好比1,2,4,和2相比1是一半;和4相比2是一半。如果拿2当1的话,1:2:4=2:4:8。正好谁都用上了。相反,如果是1,2,3,和2相比1是一半;和3相比2可不是一半,如果拿2当1的话,1:2:3=2:4:6,这样3就用不上了。我们知道自然音阶之间是全全半全全全半的关系,如果半音作为一个单位的话,这之间刚刚好是12个单位。相反,如果我们用D当做dou的话,还要保证自然音阶的相对关系,那么就不可能像上面的例子里的1,2,4一样,继续往后延伸所有的数字都能用得上。这样在D大调的时候就不可能用到所有C大调的音。经过循环计算,还是得分成12份。这样说来所有的音之间的关系都确定了,我们假设相邻的音之间的频率比是k。注意,音和音之间的差别不是频率差而是频率比!这个可以参考上面的共振原理。我们假设从一个C开始的比例关系是:

这里面的k就是十二平均律的比例关系。那么下一个话题也是非常容易的了。三、度的概念引入度的概念是在自然音阶中,把一个音到另一个音之间的音程叫度。自己到自己是一度,到第二个音叫二度,后面以此类推,到下一个本音叫八度。然而,其中的二度、三度等等一直到七度都不太一样,例如二度就有全音和半音之分。这样,我们从公式来看如下:k的0次方:纯一度,自己到自己k的1次方:小二度,半音k的2次方:大二度,全音k的3次方:小三度,一全音 一半音k的4次方:大三度,二全音k的5次方:纯四度,二全音 一半音k的6次方:增四度,三全音;或减五度,二全音 二半音k的7次方:纯五度,三全音 一半音——注意大约等于1.4983,非常接近1.5k的8次方:小六度,三全音 二半音k的9次方:大六度,四全音 一半音 k的10次方:小七度,四全音 二半音k的11次方:大气度,五全音 一半音k的12次方:纯八度这里度数的转化也很好理解,比如纯四度翻上去是纯五度,其实总共翻了一个八度,就是k的12次方。那么假如说一个是k的n次方,那么另一个对应的一定是k的12-n次方。这样里面的转换就很方便了。四、升降号可能有的朋友会说,五线谱里面的升降号记起来太麻烦了。是什么调的也非常难记。 其实有个简单的方法。先说升号:升号里面绝大部分是某调,比如A调、B调,绝对不会出现降某调,只有一个是升F调。看谱最前面的升号,最右边的一个升号的音往上找半个音,就是这个音的调。比如:一个升号,#F,往上走一个半音就是G,那么一个升号就是G调。两个升号,右边的是#C,往上走一个半音就是D,那么一个升号就是D调。三个升号,右边的是#G,往上走一个半音就是A,那么一个升号就是A调。四个升号,右边的是#D,往上走一个半音就是D,那么一个升号就是E调。五个升号,右边的是#A,往上走一个半音就是B,那么一个升号就是B调。六个升号,右边的是#E,往上走一个半音就是#F,那么一个升号就是#F调。降号:降号里面绝大部分是降某调,比如bB调,bE调,只有一个是正常调——F调。看谱前面的降号,右数第二个就是相应的调。一个降号,bB,是F调两个降号,bB和bE,上一个是bB,所以是bB调三个降号,bB和bE和bA,上一个是bE,所以是bE调四个降号,bB和bE和bA和bD,上一个是bA,所以是bA调五个降号,bB和bE和bA和bD和bG,上一个是bD,所以是bD调六个降号,bB和bE和bA和bD和bG和bC,上一个是bG,所以是bG调到这里十二平均律的相关数学关系都推导完了,希望对大家有所帮助。 (责任编辑:乐器学习网)

 

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