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详解十二平均律

更新时间:2014-10-16    来源/发布:乐器学习网    作者/编辑:乐器学习网

  “八度音程”的重要性,世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址,曾经出土了一管距今9000年的笛子(是用鹤的腿骨做的),它能演奏8个音符,其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍,它们就是八度音程的关系,和具体某一个音有多高没有关系。

  明白了八度音程的重要性,下面来介绍在一个八度音程之内,还有那些音是重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说,如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。

  如果大家有学习弦乐器(比如吉它、古琴、小提琴)的经验的话,都明白它们能发声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动的时候,用手指按住弦的中点,即让原来全部振动的弦,变成两根以1/2长度振动的弦,我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上,弦的振动频率和其长度是成反比的。

  由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一,所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想:如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现,那么试试按其它的位置会怎么样呢?数学上2:1是最简单的比例关系了,简单性仅次于它的就是3:1。那么,我们如果按住弦的1/3点,会怎么样呢?其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍(因为弦长变成了原来的1/3),另一个音是原来的3/2倍(因为弦长变成了原来的2/3)。这两个音彼此也是八度音程的关系(因为它们彼此的弦长比是2:1)。这样,在我们要寻找的F——2F的范围内,出现了第一个重要的频率,即3/2F。(那个3F的频率正好处于下一个八度,即2F——4F中的同样位置。)

  接着再试,数学上简单性仅次于3:1的是4:1,我们试试按弦的1/4点会怎样?又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍(因为弦长变成了原来的1/4),这和原来的音(术语叫“主音”)是两个八度音程的关系,可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍(因为弦长是原来的3/4)。现在我们又得到了一个重要的频率,4/3F。

  同一根弦,在不同的情况下振动,可以发出很多频率的声音。在听觉上,与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F(除了主音的各个八度之外)。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前6世纪)。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到3/2F。如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到4/3F。

  得到这两个频率之后,是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢?不行,因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了,他们转而找3/2F的3/2F,即与最和谐的那个音最和谐的音,这样就得到了(3/2)2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围,进入了下一个八度。没关系,不是有“等差音高序列”吗?在下一个八度中的音,在这一个八度中当然有与它等价的一个音,于是把9/4F的频率减半,便得到了9/8F。

  接着把这个过程循环一遍,找3/2的3次方,于是就有了27/8F,这也在下一个八度中,再次频率减半,得到了27/16F。

  就这样一直循环找下去吗?不行,因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后,会得到主音的某一个八度,这样就算是“回到”了主音上,不用继续找下去了。可是(3/2)n,只要n是自然数,其结果都不会是整数,更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

  数学上不可能的事,只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(3/2)5≈7.59,和23=8很接近,于是决定这个音就是他们要找的最后一个音,比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样,从主音F开始,我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次,得到了5个音,加上主音和4/3F,一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。  这7个音符的频率,从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

  如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi……,这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的,而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。

  仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率,可以发现它们彼此的关系很简单:do——re、re——mi、fa——so、so——la、la——si 之间的频率比都是9:8,这个比例被称为全音(tone);mi——fa、si——do 之间的频率比都是256:243,这个比例被称为半音(semitone)。

  “五度相生律”产生的7声音阶,自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过,如果按住弦的1/5点或者1/6点,得到的音已经和主音不怎么和谐了,现在居然出现了81/64和243/128这样的比例,这不会太好听吧?于是有人开始对这7个音的频率做点调整,于是就出现了“纯律”(just intonation)。

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