原对音乐一窍不通，最近对古琴感兴趣起，开始学习乐理，偶有心得，就写了下来，想把繁复的理论整理出一些简单的纲目来，与和我一样的朋友共赏，同时就正于行家。
声音
谈到音律，现要说说人耳听觉的一些特点，人能够听到的声音频率极限是16——20000赫兹，其中敏感的声音频率在1000-3000赫兹。一般人能够发出的声音频率是最大范围是64——1300赫兹，一架钢琴上发出的声音在27.5-4096赫兹（基频）。人耳对声音敏感的是其频率的比值，而不是绝对频率，比如100赫兹的声音与200赫兹的声音听起来大不相同，可1100赫兹的声音与1200赫兹的声音听起来区别不大，对声律的研究是以这点为出发的。研究音律常用到的数学工具是对数，如果几个数字间的比例相等，往往不易直接看出，如果计算它们以同一个数为地的对数，那这几个数字的差是相等的，比较一目了然。音律上一般计算一个音和基准音频率比的以2为底的对数，这样频比的对数是1的两个音频率差一倍，也就是一个八度，是2的两个音差2个八度。因为以2为底的对数计算出来常常是小数，使用不便，所以把对数值乘以1200并取整，这样得到的值就叫“音分”，一个八度合1200音分。例如第一个音是261.63赫兹，第二个293.66赫兹，第三个329.63赫兹，后两个对第一个的音分分别是：（log（293.66/261.63）/log2）*1200=200和（log（329.63/261.63）/log2）*1200=400，很容易看出三者两两之比相同。
律制
律制就是解决以何种规律制定一套标准来刻画、记录音乐的问题。常见律制有十二平均律、纯律和五度相生律，这三种律制实际是规定如何在一个长是8度（2倍频率）的尺子上打刻度，以用来度量声音的不同解决方法。五度相生率和纯率都是按照实际操作的2倍频率、3倍频率和5倍频率来打刻度的，打出来的是一种不平均的刻度，而十二平均律则是用对数计算出来的一种人为但均匀的刻度。如果以整个尺子长1200音分计，五度相生律的尺子上7个刻度间隔分别是204，204，90，204，204，204，90；纯率尺子上7个刻度间隔分别是204，182，112，204，182，204，112；十二平均律的尺子上7个刻度间隔分别是200，200，100，200，200，200，100。同一个音用不同的尺子去量，就可能落在不同的刻度上，换句话说，如果我有一张纸上写着"1，4，5，2"这几个音（乐谱），我用不同的尺子来实际画（唱）出来，就会有不同的点（声音），这就是几种律制的实际区别.不同律制下各音级的位置和间隔如下（单位是音分）
音级 1 2 3 4 5 6 7 8
五度相生律音位 0 204 408 498 702 906 11101200
五度相生律音距 204 204 90 204 204 204 90
纯率音位 0 204 386 498 702 884 10881200
纯率音距 204 182 112 204 182 204 112
十二平均律音位 0 200 400 500 700 900 11001200
十二平均律音距 200 200 100 200 200 200 100
这个尺子记录的是声音频率的比值，所以你可以把尺子的起点定在任意高度，不论从300赫兹还是400赫兹起，听着都还像那首歌。可是如果你想跟朋友合唱，那你俩尺子起点最好选同一个点，否则同一个音符，在你俩这里就是两个音儿。
对于绝对高度，也有一种标记方法，给各个频率起名字，叫做C2，D2，E2，F2，G2，A2，B2，C1，D1，E1，F1，G1，A1，B1，C，D，E，F，G，A，B，c，d，e，f，g，a，b，c1，d1，e1，f1，g1，a1，b1，c2，d2，e2，f2，g2，a2，b2，c3，d3，e3，f3，g3，a3，b3，c4，d4，e4，f4，g4，a4，b4...，规则是按照十二平均率的办法确定各个音的频率比值（间隔），既不分大小写，同一级别的d：c=2K，e：d=2K，f：e=K，g：f=2K，a：g=2K，b：a=2K，下一级别的c：a=K，其中K是2的12次平方根。这些音组成了一个空档间隔不同的梯子，每相邻级别的A（或B或C等等）的频率差正好是2倍，最后把a1的频率钉在440赫兹上（国际第一高度定义）。这样就有了度量绝对音高的一个尺度。
三分损益律
三分损益律是中国古代使用的主要律法，它实际是五度相生律的一种形式。三分损益法的定律方法是：先选一段震动体（后面以弦为例）认为它的声音称作“宫”？，把它的长度依次乘以4/3和2/3来得到不同长度的弦，这些弦震动的声音就依次称作徴、商、羽、角。假设宫的弦长是81，计算出各音的弦长就分别是：（宫81） *4/3->（徴108）*2/3-> （商72）*4/3-> （羽96）*2/3->（角64），把这几个音弦长按顺序排列就是：（徴108）（羽96）（宫81）（商72）（角64）.大家知道，材质、粗细、张力等条件都相同时，弦音的频率和长短成反比，越短声音越高，依此可以计算各音间的差距，如羽对徴=（log（108/96）/log2）*1200=204音分，宫对羽=（log（96/81）/log2）*1200=294...，这就得出了前面说过的五度相生律的律差。为什么又叫五度相生律呢，因为长度比是2/3的两弦频率比是3/2，合702音分，西洋音乐中把这个差距叫做纯5度，长度比4/3的弦频率比是（3/2）/2，相当于长了一个纯五度，又往下拉了一个八度（倍频），所以三分损益法的实质是从一个音开始，上纯五度下拉八度定一个刻度，然后再上纯五度定一个刻度，再上纯五度下拉八度定一个刻度...
生律过程（假定宫的长度是81）：
顺序 1 2 3 4 5
音级 宫->徴->商->羽->角
长度乘数 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3
各音长度81 108 72 96 64
把各音长度依次排列，并按长度比换算出声音比例的音分值得到：
音级 徵 羽 宫 商 角 清徵
各音长度108 96 81 72 64
音位 0 204 498 702 906 1200
音距 204 294 204 204 294
十二律吕
按照“三分损益律”再往下推算，可以得到十二律，在《吕氏春秋·仲夏纪·音律篇》中有着详细的记载：“黄钟生林钟，林钟生太蔟，太族生南吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤宾，蕤宾生大吕，大吕生夷则，夷则生夹钟，夹钟生无射，无射生仲吕。三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上，林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”也就是黄钟弦长*2/3得出林钟的弦长，林钟乘4/3得到太蔟的弦长，然后再乘2/3。。。但到蕤宾生大吕那里，按顺序该乘2/3，但改为4/3，后面也依次改，就像7月是大月，8月本改小月可改成了大月，后面的大小月也都变一样.将得到的十二律按弦长顺序排好之后是黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑冼、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟，可以计算出他们之间的音分差距分别是114、90、114、90、114、90、90、114、90、114、90。因为是每隔八位生一律，所以这种生律方法叫做“隔八相生法”，十二律中奇数律为阳律，又叫做六律，偶数律为阴律，又叫做六吕，平常我们经常听说的“十二律吕”也就是指这个。十二律各高一个八度（或频率高一倍或弦长短一半）的音分别称作"清黄钟"、"清大吕"...；十二律各低一个八度的音分别称作“变黄钟”、"变大吕"...。黄钟在一定的时期会选定一个比较固定的频率，所以这十二律吕就确定了一套绝对音高的度量体系。
生律过程（假定黄钟的长度是177147，即3的11次方，这样其他各律对应的长度都可以是整数）：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
黄钟 林钟 太蔟 南吕 姑洗 应钟 蕤宾 大吕 夷则 夹钟 无射 仲吕 清黄钟
*2/3 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3 *4/3 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3 *4/3 *2/3
177147 118098157464 104976139968933121244161658881105921474569830413107287381.33
把各音长度依次排列得到：
音名黄钟 大吕 太蔟 夹钟 姑洗 仲吕 蕤宾 林钟 夷则 南吕 无射 应钟 清黄钟
长度177147165888157464147456139968131072124416118098110592104976098304093312087381.33
音位 0 114 204 318 408 522 612 702 816 906 1020 1110
音距 114 90 114 90 114 90 90 114 90 114 90
音位音距以音分为单位
“三分损益律”所定音律有个缺陷，就是生率顺序的最后一位仲吕如果按规律再生一律，那么得到的并不是清黄宫（黄宫弦长一半），而是0.493倍，差了23.5音分。也就是说，黄钟音还不了原，如果不在11次上停下来，继续下去可以生出无数多的音来。关于黄钟音归位的问题一直困绕着中国古代音乐家。直到明代，才由朱载堉在世界音律史上首次建立十二平均律的数理理论，即采用2的12次方根作为生律的倍数，使得黄钟音终于能够顺利的“归位”。
泛音
一根拉紧的琴弦在发生时，不但有整根弦作为波长的震动，而且同时存在着分别以弦长的1/2、1/3、1/4、1/5...为波长的震动，这些震动发出的声音频率依次是基频、基频的2倍、基频的3倍...，这些倍频音统称泛音。由于基频音的振幅最大，所以它的响度最大，其他倍频的音响度依次减少。各种乐器的震动发声都有泛音存在，基音的泛音数目和相对强度就决定乐器的音色。
琴弦的二倍频泛音震动的特点是整弦上有两个波长，整弦长1/2处是震动的节点，这里二倍频泛音的震幅为0，而这个节点确正是基频震动的波腹，振幅最大，如果用手指肚轻触这个节点，会限制它的震动，基频被抑制，就能听到清晰的倍频声音。同样如果在3倍频音、5倍频音的节点出处抑制振幅，就听到到3、5倍频音，只是音量比基音要小，这就是泛音演奏的原理。
古琴的徽位就是弦上部分泛音节点的标记。各徽位在全弦上的位置是一徽（1/8）、二徽（1/6）、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8，位置的分母数就是基频的频率被数，比如泛十一徽发音是散弦的5倍高。
琴律
古琴定弦的方法有多种，现在来分别分析：
定弦法一：
使用泛音定弦：
七弦七徽泛音应与四弦九徽泛音等高。
四弦十徽泛音应与六弦九徽泛音等高。
六弦七徽泛音应与三弦九徽泛音等高。
三弦十一徽泛音应与五弦十徽泛音等高。
五弦七徽泛音应与二弦九徽泛音等高。
四弦七徽泛音应与一弦九徽泛音等高。
一弦七徽泛音应与六弦散音等高。
二弦七徽泛音应与七弦散音等高。
古琴各徽位在全弦上的位置是一徽（1/8）、二徽（1/6）、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8，某弦的散音就是它基频的音，各徽位泛音就是各徽位位置分母数的倍频音，例如十徽泛音就是散音的4倍频。这样“七弦七徽泛音应与四弦九徽泛音等高”实际就是七弦散音高的2倍与四弦散音高的3倍相等.把上面的文字可以改写成函数组如下，
2七=3四
4四=3六
2六=3三
5三=4五
2五=3二
2四=3一
2一=1六
2二=1七*
如果把一弦频率定为1，则各弦频率可以计算出来分别是：一1、二10/9、三4/3、四3/2、五5/3、六2、七9/4，各音相对1弦的音分值分别是：182、498、702、884、1200、1404，相临两弦间相对音分是：182、316、204、182、316、204，可以明显看出，这种定弦方法是按照纯律定弦。定弦法中“二弦七徽泛音应与七弦散音等高”实际是近似值，两者还差22音分。
下面的图是以五弦=A为准，计算十二平均律C、D、E、F、G、A、B、c、d各音与A的距离（音分），和各弦音与五弦距离：
C D E F G A B c d
-900 -700 -500-400 -200 0 200 300 500
-884 -702 -386 -182 0 316 520
一 二 三 四 五 六 七
可见一、二、三、四、五、六、七分别等于C（加16音分）、D（减2音分）、F（加14音分）、A、c（加16音分）、d（加20音分）
定弦法二：
正调（F调）的调弦法。调好以后七条弦从一弦（宫弦）至七弦（武弦）的散音是5、6、1、2、3、5、6 （1=F）。
第一、要准备一个标准音A的音哨（或音*）。
第二、在吹音哨A的同时大指七徽勾五弦（按音），使大七勾五和音哨的发音两音取同高。
第三、现在就可以用泛音调弦了，我们先用名指五徽泛挑七弦，再迅速用食指四徽泛勾五弦，使两弦泛音取同高。因为五弦是和标准音哨A校准过的，所以七弦应以五弦为标准。如七弦不准调七弦（不要再动五弦了）。
第四、现在七弦和五弦都调准了。我们就可以拿七弦来调四弦了。方法是这样的：大指七徽泛挑七弦得音后迅速名指九徽泛勾四弦。使两弦泛音同高。同理七弦已调准，所以两弦不同高时调动四弦。
第五、现在七、五、四三条弦都已调好了。我们拿四弦来调六弦，名指五徽泛挑六，食指四徽泛勾四弦，使两弦同高。同理，四弦已调准，如六弦不准，调六弦。
第六、现在四、五、六、七四弦皆准了。我们就可以拿六弦来调三弦了。大指七徽泛挑六弦得音后迅速名指九徽泛勾三弦，使两弦取同高。如果三弦不准就可以以六弦为基准调三弦了。
第七、大指七徽泛挑五弦得音后迅速名指九徽泛勾二弦。使两弦取同高。如二弦不准就可以以五弦为基准调二弦了。
第八、最后我们拿四弦来调准一弦。方法是：大指七徽泛挑四弦得音后迅速名指九徽泛勾一弦。使两弦同高，以四弦为基准调一弦。
至此，七条弦都已调准。
也把上面的文字也写成公式：
2五=A
3七=4五
2七=3四
3六=4四
2六=3三
2五=3二
2四=3一
如果把一弦频率定为1，则各弦频率可以计算出来分别是：一1、二9/8、三4/3、四3/2、五27/16、六2、七9/4。各音相对1弦的音分值分别是：204、498、702、906、1200、1404，相临两弦间相对音分是：204、294、204、204、294、204，可以看出，这种定弦方法是按照五度相生（三分损益）律定弦。
下面的图是以五弦=A为准，计算十二平均律C、D、E、F、G、A、B、c、d各音与A的距离（音分），和各弦音与五弦距离：
C D E F G A B c d
-900 -700 -500-400 -200 0 200 300 500
-906 -702 -408 -204 0 294 498
一 二 三 四 五 六 七
可见一、二、三、四、五、六、七分别等于C（减6音分）、D（减2音分）、F（减8音分）、A、c（减6音分）、d（减2音分）
定弦法三：
按音定弦
七弦散音应与四弦九徽按音等高。
六弦散音应与四弦十徽按音等高。
五弦散音应与三弦十徽八分按音等高。
四弦散音应与二弦十徽按音等高。
三弦散音应与一弦十徽按音等高。
二弦七徽按音应与七弦散音等高。
一弦七徽按音应与六弦散音等高。
七弦九徽按音应与五弦七徽按音等高。
六弦十徽按音应与三弦散音等高。
五弦十徽按音应与七弦散音等高。
古琴各徽位在全弦上的位置是一徽（1/8）、二徽（1/6）、三徽1/5、四徽1/4、五徽1/3、六徽2/5、七徽1/2、八徽3/5、九徽2/3、十徽3/4、十一徽4/5、十二徽5/6、十三徽7/8，由于弦的长度与频率成反比，所以“七弦散音与四弦九徽按音等高”的含义就是七散音频率与四弦散音频率的3/2倍等高.把上面的文字改写成等式组如下：
1） 1七=3/2四
2） 1六=4/3四
3） 1五=三弦十徽八分
4） 1四=4/3二
5） 1三=4/3一
6） 2二=1七
7） 2一=1六
8） 3/2七=2五
9） 4/3六=1三
10） 4/3五=1七
如果把一弦频率定为1，则各弦频率可以计算出来分别是：一1、二9/8、三4/3、四3/2、五27/16、六2、七9/4。各音相对1弦的音分值分别是：204、498、702、906、1200、1404，相临两弦间相对音分是：204、294、204、204、294、204，可以看出，这种定弦方法与定弦法二是相同的.
